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よく分かるモンティ・ホールジレンマ

以前にこんな問題を紹介しました。


ざっとおさらいしておくと…
中身の見えないA、B、Cの3つの箱がある。どれか1つには金塊が入っていて、残り2つには鉛の塊が入っていることが分かっている。私はそれぞれの箱に何が入っているか知っているが、あなたには分から
ない。
このうち好きな箱を1つだけあげよう。ただし中身を見ずに選ぶこと。
あなたはAの箱を選んだ。そこで私は、残り2つのうち鉛が入っている箱(Cとする)を選び、フタを開けてあなたに見せた。あなたにはここで、箱の選択を変える権利がある。
さて、金塊が欲しいあなたは、そのままAを選ぶべきだろうか。それとも選択を変えてBを選ぶべきだろうか。

イ. Aを選ぶべきだ
ロ. Bを選ぶべきだ
ハ. どちらとも言えない
答えは「ロ」でしたが、ちょっと考えただけでは「ハ」だ思ってしまう人が多いようです。
自分も論理的には理解しても、実感としてしっくりこない…というのが正直なところでした。
でも先日ある本で、直感的にも「なるほど!」と心底納得できる説明に出会ってスッキリしたので、それになぞらえて再度解説してみたいと思います。

箱が3つではなく1万個あったとして、そのうち1個だけに金塊が入っている場合を考えます。あなたは1万箱のうち1箱を当てずっぽうに選ぶわけですが、まぁまずハズレだと考えるのが普通の感覚でしょう。

当たり前ですが、アタリの金塊が入っているのはあなたが選んだ1箱のほうではなく、残りの9,999箱のうちのどれかである確率が圧倒的に高い。その9,999箱のうちから、私は鉛入りの箱を選んで次々に開けてあなたに見せていきます。そしてついに最後の1箱というところで「さぁ、こっちを選んでもいいですよ。どうしますか」とやるわけです。

金塊入りの箱が含まれている可能性が圧倒的に高いグループの中から鉛の箱だけを除外していったのだから、残りの1箱に金塊が入っている可能性は、依然として圧倒的に高いのは当然です。選択を変えない手はないでしょう。

箱が1万個だとこんなに当たり前に思えることでも、たった3つの箱しかないと、ほとんどの人が「Cが除外されればAかBのどちらかだから、確率はどっちも1/2」などと誤った判断に陥ってしまいやすいんですね。人間の直感ってのも、案外アテにならないもんです。

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コメント

コメント(6)
No title
以前のJinne Louさんの解説で理解したつもりでしたが、今度は、3つの箱から1つを選ぶという以前の問題と、1万個の箱があって、選択した箱1個以外の9,999箱を次々と開けていくという問題が、例えにした数が違うだけであって実質的に同じであるということが分かりません。箱が1万個あって、選択した箱以外の9,999箱から1度だけ箱をあけるということなら、以前の問題と同じだとは思うのですが・・・。Jinne Louさんの問題にまた悩まされてます(笑)

pho*b*_weat*er*cau*f*eld

2006/03/16 13:45 URL 編集返信
No title
いやそうではなく、3個から1個を選ぶか、1万個から1個を選ぶかというだけの違いです。回答者が選んだ箱以外の箱のうち、ハズレのものだけを開けて中身を回答者に見せるのは、いずれも出題者の側です。分かりづらい書き方だったかもしれません。

Jinne Lou

2006/03/16 15:03 URL 編集返信
No title
いまだにすっきりしません・・・(泣)きのうからずっとモヤモヤしてます。Jinne Louさんご紹介の本買ってみようかな・・・。

pho*b*_weat*er*cau*f*eld

2006/03/17 23:41 URL 編集返信
No title
単純な話なんですが…。最初の問題文の「3つ」を「1万個」に、「残り2つ」を「残り9999個」に置き換えて考えてみてください。当然、残り9999個のうち鉛の入っている箱も「C」1つだけでなく、出題者は9998個の鉛入りの箱を開けて回答者に見せることになります。

Jinne Lou

2006/03/18 03:09 URL 編集返信
No title
そっか、はじめに選んだものが当たってる確率は1万分の1で、
もう1つの方が当たってる確率は1万分の9999ですね。
当然、後者を選びますね。

omori

2009/01/15 18:51 URL 編集返信
No title
そうです。このへんはomoriさんの専門領域でしょうから、釈迦に説法でしょうがね。

Jinne Lou

2009/01/16 01:23 URL 編集返信
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